专业监理工程师应审查施工单位报审的施工组织设计，提出审查意见，并经总监理工程师审核、签认后报建设单位。

施工组织设计的审查由专业监理工程师负责提出审查意见，最终由总监理工程师审核、签认并报建设单位，这符合监理工作的职责分工和流程。